Question

已知命题P：

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（2t-t²）＞x²-3x+2；命题q：x²-3x+2＞3-t²，若?x∈[0，2]，都有“p∨q为假命题”成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由p∨q为假命题得p，q都是假命题，所以命题p：对任意的x∈[0，2]，

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(2t-t2)≤x2-3x+2，所以求函数x²-3x+2在[0，2]上的最小值为-

1

4

，所以便得到

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(2t-t2)≤-

1

4

    ①，同样的方法得到命题q：3-t²≥2      ②，所以解不等式①②并求交集即得实数t的取值范围．

解答： 解：若?x∈[0，2]，都有“p∨q为假命题”成立，则p，q都是假命题，所以：
命题p：对?x∈[0，2]都有

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(2t-t2)≤x2-3x+2；
x2-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，∴函数x²-3x+2在[0，2]上的最小值为-

1

4

；
∴

1

8

(2t-t2)≤-

1

4

，解得t≥1+

3

，或t≤1-

3

；
命题q：对?x∈[0，2]都有x²-3x+2≤3-t²；
x2-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，∴函数x²-3x+2在[0，2]上的最大值为2；
∴2≤3-t²，解得-1≤t≤1；
综上得实数t的取值范围为[-1，1-

3

]．

点评：考查p∨q的真假和p，q真假的关系，通过配方求二次函数最值的方法，以及解一元二次不等式．