Question

若数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n+a_n+1}是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：当q=-1时，a_n+a_n+1=a1(-1)n-1+a1(-1)n=0，数列{a_n+a_n+1}是等差数列；q=1时，a_n+a_n+1=2a₁，数列{a_n+a_n+1}既是等差数列，又是等比数列；当q≠±1时，a_n+a_n+1=a1qn-1+a1qn=a₁（1+q）q^n-1，数列{a_n+a_n+1}是公比为q，首项为a₁（1+q）的等比数列．

解答： 解：当q=-1时，
a_n+a_n+1=a1(-1)n-1+a1(-1)n=0，
数列{a_n+a_n+1}是：0，0，0，…，它是等差数列；
q=1时，a_n+a_n+1=2a₁，
数列{a_n+a_n+1}是：2a₁，2a₁，2a₁，…，既是等差数列，又是等比数列；
当q≠±1时，a_n+a_n+1=a1qn-1+a1qn=a₁（1+q）q^n-1，
数列{a_n+a_n+1}是公比为q，首项为a₁（1+q）的等比数列．
∴数列{a_n+a_n+1}是

等差数列，q=-1 既是等差数列，又是等比数列，q=1 等比数列，q≠±1

．
故答案为：

等差数列，q=-1 既是等差数列，又是等比数列，q=1 等比数列，q≠±1

．

点评：本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．