Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为a，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC₁上任一点．
（1）求证：不论P在侧棱CC上何位置，总有BD⊥AP；
（2）若P是CC₁的中点，求二面角A-B₁P-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：作出题意中的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）由题意可知，CC₁⊥BD，BD⊥AC，从而证明BD⊥平面ACC₁A₁，又由不论P在侧棱CC上何位置，总有AP?平面ACC₁A₁，从而得证；
（2）证明∴△BCP与△B₁C₁P都是等腰直角三角形，从而证明BP⊥B₁P，从而得到∠BPA为二面角A-B₁P-B的平面角，在Rt△ABP中求二面角A-B₁P-B的正切值．

解答： 解：（1）证明：
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥BD，BD⊥AC，
又∵AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
又∵不论P在侧棱CC上何位置，
总有AP?平面ACC₁A₁，
∴总有BD⊥AP．
（2）∵P是CC₁的中点，
又∵底面边长为a，侧棱是底面边长的2倍，
∴△BCP与△B₁C₁P都是等腰直角三角形，
∴BP⊥B₁P，
又∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴∠BPA为二面角A-B₁P-B的平面角；
在Rt△ABP中，
AB=a，BP=

2

a，
则tan∠BPA=

AB

BP

=

2

2

．
故二面角A-B₁P-B的正切值为

2

2

．

点评：本题考查了学生的空间想象力及作图能力，同时考查了对正四棱柱的认识，证明线面垂直时通常用线面垂直的判定定理，属于中档题．