Question

已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=

1-f(x)

1+f(x)

．
（1）证明：2是f（x）的一个周期；
（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（3）对满足（2）的函数f（x），f（x）=ax有且仅有100个根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的周期性,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）证明f（x+1+2）=f（x+1）即可；
（2）设x∈[0，1），则x-1∈[-1，0），f（x）=x，由f（x+1）[1+f（x）]=1-f（x）即可推出f（x）=-

x

x+2

；
（3）f（x）在[-1，0）上的函数图象最大值为1．最小值为0，a×100≥1所以a≥

1

100

，a×99＜1所以a＜

1

99

，故

1

100

≤a＜

1

99

．

解答： 解：（1）由题意得：∵f（x+2）=f（x+1+1）=

1-f(x+1)

1+f(x+1)

∴f（x+2+1）=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x+1) 1+f(x+1)

1+ 1-f(x+1) 1+f(x+1)

=f（x+1）=

1-f(x)

1+f(x)

．
所以2是f（x）的一个周期；
（2）设x∈[0，1），则x-1∈[-1，0），
f（x）=x⇒f（x+1）=x+1
因为f（x+1）[1+f（x）]=1-f（x）
⇒（x+1）[1+f（x）]=1-f（x）
⇒f（x）=-

x

x+2

（3）作出f（x）在[-1，0）上的函数图象，显然，最大值为1．最小值为0
所以，在每个周期内与函数有2个交点，即f（x）=ax有2个根
如果有100个根，则需要50个周期
也就是说，当x=100时，ax≥1
所以a×100≥1所以a≥

1

100

当x=99时，ax＜1 当
所以a×99＜1所以a＜

1

99

所以

1

100

≤a＜

1

99

点评：本题主要考察了函数的周期性，根的存在性及根的个数判断，属于中档题．