Question

已知f（x）=xlnx．
（1）若不等式c＜f（x）恒成立，求c的取值范围；
（2）令f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）；n是正整数；
①写出函数f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）的表达式，由此猜想f_n（x）（n∈N^*）的表达式；
②用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的定义域，求出函数的导函数，研究出原函数在定义域上的单调性即可求出函数f（x）在定义域上的最小值，即可．
（2）①通过求解函数的导数，直接得到函数f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）的表达式，然后猜想f_n（x）（n∈N^*）的表达式．
②利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．

解答： 解：（1）函数的定义域是（0，+∞）
由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当x∈（0，

1

e

）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（

1

e

，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为：f（

1

e

）=-

1

e

．
不等式c＜f（x）成立，∴c＜f（x）_min，∴c＜-

1

e

…（5分）
（2）①f₀（x）=f'（x）=1+lnx，
∴f1(x)=f′0(x)=

1

x

，f2(x)=f′1(x)=-

2

x2

，f3(x)=f′2(x)=

2•3

x3

=

3！

x3

，f4(x)=f′3(x)=

-2•3•4

x4

=-

4！

x4

，…（6分）
猜想fn(x)=(-1)n+1•

(n-1)!

xn

…（8分）
证明：（1°）n=1时，f1(x)=(1+lnx)′=x-1=

1

x

，∴猜想成立；…（9分）
（2°）设n=k时结论成立即：fk(x)=(-1)k+1•

(k-1)!

xk

；
n=k+1时有：fk+1(x)=f′k(x)=[(-1)k+1•(k-1)!x-k]′=(-1)k+1(k-1)!•(-k)x-k-1=(-1)(k+1)+1•

k!

xk+1

∴n=k+1时结论成立；（11分），
综上由（1°）（2°）可知fn(x)=(-1)n+1•

(n-1)!

xn

对任意正整数成立．（12分）

点评：本题考查函数的导数判断函数的单调性最值的求法，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．