Question

是否存在一个等比数列{a_n}同时满足下列三个条件：①a₁+a₆=11且a₃a₄=

32

9

；②a_n+1＞a_n（n∈N^*）；③至少存在一个m（m∈N^*且m＞4），使得

2

3

a_m-1，a_m²，a_m+1+

4

9

依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：假设存在等比数列{a_n}同时满足三个条件，由①②结合等比数列的性质求得a₁、a₆的值，从而求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，结合

2

3

a_m-1，a_m²，a_m+1+

4

9

成等差数列求出m的值为3，与m＞4矛盾，说明假设错误．

解答： 解：假设存在等比数列{a_n}同时满足三个条件，
由①可得

a1+a6=11 a1a6= 32 9

，
由②可知数列{a_n}是递增的，则a₆＞a₁，
解上面方程组得

a1= 1 3 a6= 32 3

，
设等比数列的公比q，则q5=

a6

a1

=32，q=2．
此时an=

1

3

×2n-1．
由③可知2am2=

2

3

am-1+(am+1+

4

9

)
?2(

1

3

×2m-1)2=

2

3

×

1

3

×2m-2+(

1

3

×2m+

4

9

)．
解得m=3，与已知m＞4矛盾．
故这样的数列{a_n}不存在．

点评：本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式得求法，属中档题．