Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：PE⊥AD；
（Ⅲ）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，推断出CD∥AB．进而根据线面平行的判定定理推断出CD∥平面PAB．
（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，可知PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，推断出PE⊥平面ABCD，进而根据线面垂直的性质可知PE⊥AD．
（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，进而可知CE⊥AB，（Ⅱ）可得PE⊥AB，进而判断出AB⊥平面PEC，根据面面垂直的判定定理推断出平面PAB⊥平面PEC．

解答：
解：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，
所以CD∥AB．
又因为CD?平面PAB，
所以CD∥平面PAB．
（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，
所以PE⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
因为AD?平面ABCD，
所以PE⊥AD．
（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，
所以CE⊥AB，
由（Ⅱ）可得PE⊥AB，
所以AB⊥平面PEC，
又因为AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PEC．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理及性质．要求对满足的条件全面．