Question

已知函数f（x）=lnx-

ax2

2

+（a-1）x-

3

2a

，其中a＞-1且a≠0．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个相异的零点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,复合函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

(x-1)(-ax-1)

x

，有-ax-1＜0，从而当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）①当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上有两个相异零点，则只需f（1）＞0，解得a＞3；当-1＜a＜0时，要使得f（x）在（0，+∞）上有两个相异零点，而关于a的方程无解，故实数a的范围为（3，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=

1

x

-ax+（a-1）=

-ax2+(a-1)x+1

x

=

(x-1)(-ax-1)

x

．
由于a＞0，x＞0，故-ax-1＜0
从而当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减．
从而f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）=

(x-1)(-ax-1)

x

，x＞0，
①当a＞0时，由（Ⅰ）得，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上为减函数，
考虑到当x趋于0时，f（x）趋于-∞，f（2）=ln2-2-

3

2a

＜0，
故要使f（x）在（0，+∞）上有两个相异零点，则只需f（1）＞0，
即f（1）=

a2-2a-3

2a

=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，
解得a＞3．
②当-1＜a＜0时，
故当x∈（0，1]∪[-

1

a

，+∞）时f′（x）≥0，当x∈[1，-

1

a

]时f′（x）≤0，
故f（x）在（0，1]上为增函数，在[1，-

1

a

]上为减函数，在[-

1

a

，+∞）上为增函数．
考虑到当x趋于0时，f（x）趋于-∞，当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
f（1）=

a2-2a-3

2a

=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，
从而f（x）在（0，1）内有且仅有一个零点，
要使得f（x）在（0，+∞）上有两个相异零点，则f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）-

1

a

-1=0，又-

1

a

∈（1，+∞），
故ln（-

1

a

）-

1

a

-1＞ln1+1-1=0，从而上述关于a的方程无解．
综上，实数a的范围为（3，+∞）．

点评：本题主要考察了利用导数研究函数的单调性，复合函数的单调性，根的存在性及根的个数判断等知识，属于中档题．