Question

设函数f（x）=x²+2x+a．若方程f（f（x））=0有且只有两个不同的实根，则实数a的取值范围为（　　）

• A、

  -1- 5

  2

  ＜a＜

  -1+ 5

  2

• B、

  3- 13

  2

  ＜a＜

  3+ 13

  2

• C、

  3- 7

  2

  ＜a＜

  3+ 7

  2

• D、

  -1- 3

  2

  ＜a＜

  -1+ 3

  2

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：对该题应用分类讨论思想分以下三种情况：①若f（x）无实根，即a＞1，则不合题意．②若f（x）有两个相等的实数根，此时a=1由f（f（x））=0得：f（x）=-1，不合题意故舍去．③若f（x）有两个不相等的实数根，也即a＜1，设f（x）=0的实根为：x₁和x₂，则：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂有两个不等实根．进一步可知：方程f（x）=x₁和（x）=x₂有且仅有一个方程有两个不等实根．即：x²+2x+a-x₁=0和x²+2x+a-x₂=0中一个方程有实根另一个方程无实根．又由于x1，2=-1±

1-a

，可得：a-(-1-

1-a

)＞1且a-(-1+

1-a

)＜1，利用换元法，设t=

1-a

，进一步解得：

-1+ 5

2

＜t＜

1+ 5

2

，因而：

-1- 5

2

＜a＜

-1+ 5

2

．

解答： 解：函数f（x）=x²+2x+a 
若方程f（f（x））=0有且只有两个不同的实根
①若f（x）无实根，即a＞1，则不合题意．
②若f（x）有两个相等的实数根，此时a=1由f（f（x））=0得：f（x）=-1，不合题意故舍去．
③若f（x）有两个不相等的实数根，也即a＜1，设f（x）=0的实根为：x₁和x₂，则：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂有两个不等实根．进一步可知：方程f（x）=x₁和（x）=x₂有且仅有一个方程有两个不等实根．
即：x²+2x+a-x₁=0和x²+2x+a-x₂=0中一个方程有实根另一个方程无实根．
又由于x1，2=-1±

1-a

可得：a-(-1-

1-a

)＞1且a-(-1+

1-a

)＜1
设t=

1-a

进一步解得：

-1+ 5

2

＜t＜

1+ 5

2

因而：

-1- 5

2

＜a＜

-1+ 5

2

故选：A

点评：本题考查的知识要点：用公式法解一元二次方程，换元法的应用，分类讨论思想在做题中的应用．