Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2AD，AD⊥AB，将△ADC沿AC这起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC．

（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）点M是线段DB上的一点，当二面角M-AC-D的大小为时

π

3

时，求

DM

NB

的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）首先根据折叠问题，通过面面的垂直关系转化为线面垂直，通过相关的运算，进一步转化出线线垂直．
（Ⅱ）首先建立空间直角坐标系，进一步求出点的坐标，然后分别求出平面的法向量，设

DM

=λ

DB

，进一步根据二面角cos

π

3

=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，求得λ的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ACD⊥平面ABC=AC
∴在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2AD，AD⊥AB
求得：BC⊥AC
∴BC⊥平面ACD
AD?平面ACD
∴BC⊥AD
（Ⅱ）分别取AC、AB的中点O、E，分别以OA、OE、OD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=

2

则：A（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，O，1），B（-1，2，0）
设

DM

=λ

DB

，M（x，y，z）则：x=-λ，y=2λ，z=1-λ
所以：

AC

=（-2，0，0），

AM

=（-λ-1，2λ，1-λ）
设平面AMC的法向量

n1

=(x，y，z)
则有：

n1 • AC =0 n1 • AM =0

得到：

-2x=0 -(λ+1)x+2λy+(1-λ)z=0

令z=2λ
则：x=0，y=λ-1
又平面ADC的法向量

n2

=(0，1，0)
由题意可知：当二面角M-AC-D的大小为

π

3

时，
cos

π

3

=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

解得：

λ-1

(λ-1)2+(2λ)2

=

1

2

λ=2

3

-3
即

DM

=(2

3

-3)

DB

所以：

DM

MB

=

3

2

点评：本题考查的知识要点：面面垂直与线面垂直和线线垂直之间的转化及相关运算，法向量的应用，空间直角坐标系的建立技巧，向量共线的应用，二面角的应用．