题目内容
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①cos213°+cos273°-cos13°cos73°；
②cos215°+cos275°-cos15°cos75°；
③cos240°+cos2100°-cos40°cos100°；
④cos2（-30°）+cos230°-cos（-30°）cos30°；
⑤cos2（-12°）+cos248°-cos（-12°）cos48°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
①cos213°+cos273°-cos13°cos73°；
②cos215°+cos275°-cos15°cos75°；
③cos240°+cos2100°-cos40°cos100°；
④cos2（-30°）+cos230°-cos（-30°）cos30°；
⑤cos2（-12°）+cos248°-cos（-12°）cos48°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
考点：数学归纳法,归纳推理
专题：推理和证明
分析：（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．
解答：
解：（1）对于①式，原式=cos213°+cos273°-cos13°cos（60°+13°）
=cos213°+cos273°-cos13°（
cos13°-
sin13°）
=
cos213°+
sin26°+cos273°
=
+
sin26°+
=
+
(
cos26°+
sin26°)-
cos34°
=
+
(cos60°cos26°+sin60°sin26°)-
cos34°
=
+
cos34°-
cos34°
=
．
（2）根据式子特点猜想：cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=
证明：原式左边=cos2α+（cosαcos60°-sinαsin60°）2-cosα（cosαcos60°-sinαsin60°）
=cos2α+
cos2α-2×
×
sinαcosα+
sin2α-
cos2α+
sinαcosα
=
cos2α+
sin2α-
sinαcosα+
sinαcosα
=
(sin2α+cos2α)
=
．
=cos213°+cos273°-cos13°（
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=
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=
| 1+cos26° |
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| 1+cos146° |
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（2）根据式子特点猜想：cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=
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证明：原式左边=cos2α+（cosαcos60°-sinαsin60°）2-cosα（cosαcos60°-sinαsin60°）
=cos2α+
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=
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点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．
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