Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1（x∈R），其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f′（x）=12x²+6x-6，由此能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（Ⅱ）f′（x）=12x²+6tx-6t²，令f′（x）=0，解得x=-t，或x=

t

2

．由此进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）当t＞2时，

t

2

＞1，f（x）在（0，1）内单调递减，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，f'（x）=12x²+6x-6f'（0）=-6．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．-------4分
（Ⅱ）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t，或x=

t

2

．
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则

t

2

＜-t，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(-∞， t 2 )	( t 2 ，-t)	（-t，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）

所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)；f(x)的单调递减区间是(

t

2

，-t)．
（2）若t＞0，则-t＜

t

2

，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，t）	(-t， t 2 )	( t 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）

所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)；f(x)的单调递减区间是(-t，

t

2

)．--------10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当t＞0时，f（x）在(0，

t

2

)内的单调递减，在(

t

2

，+∞)内单调递增，
当t＞2时，

t

2

＞1，f（x）在（0，1）内单调递减，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0．
所以对任意t＞2，在区间（0，1）内存在唯一的一个零点．-------------14分．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．