题目内容
如图，在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6．（1）求∠ADB的大小？
（2）求AB的长？
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cos∠ADC，将三边长代入求出cos∠ADC的值，确定出∠ADC的度数，即可确定出∠ADB的度数；
（2）在三角形ABD中，由AD，∠B与∠ADB的度数，利用正弦定理即可求出AB的长．
（2）在三角形ABD中，由AD，∠B与∠ADB的度数，利用正弦定理即可求出AB的长．
解答：
解：（1）在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得cos∠ADC=
=
=-
，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADB=60°；
（2）在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得
=
，
∴AB=
=
=
=5
．
由余弦定理得cos∠ADC=
| AD2+DC2-AC2 |
| 2AD•DC |
| 100+36-196 |
| 2×10×6 |
| 1 |
| 2 |
∴∠ADC=120°，
∴∠ADB=60°；
（2）在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得
| AB |
| sin∠ADB |
| AD |
| sinB |
∴AB=
| AD•sin∠ADB |
| sinB |
| 10sin60° |
| sin45° |
10×
| ||||
|
| 6 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
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