Question

已知函数f（x）=（2x²-6x+a+6）•e^x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；
（2）设函数g（x）=f（x）+（2x-a-4）•e^x，是否存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得当x∈[m，n]时函数g（x）的值域为[2m，2n]，若存在求出m，n，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x，分别讨论a的取值范围，从而求出其单调区间，
（2）由题意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，假设存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得当x∈[m，n]时函数g（x）的值域为[2m，2n]，即n＞m＞1，通过讨论得出，h（x）在（1，+∞）只存在一个零点，与方程g（x）=2x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以不存在m，n符合题意．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x=[2(x-

1

2

)2+a-

1

2

]•e^x，
①当a≥

1

2

时，由f′x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜

1

2

时，f′（x）＞0，
解得：x＜

1

2

-

1-2b

2

或x＞

1

2

+

1-2b

2

，
（ⅰ）若a≤0，则

1

2

-

1-2b

2

≤0，

1

2

+

1-2b

2

≥1，
∴f（x）在（0，

1

2

+

1-2b

2

）上单调递减，在（

1

2

+

1-2b

2

，+∞）上单调递增，
（ⅱ）若0＜a＜

1

2

，则

1

2

+

1-2b

2

≥0，
∴f（x）在（0，

1

2

-

1-2b

2

）和[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）上单调递增，
在（

1

2

-

1-2b

2

，

1

2

+

1-2b

2

）上单调递减，
综上所述：当a≤0时，f（x）的单调递减区间为：（0，

1

2

+

1-2b

2

），
单调递增区间为[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）；
当0＜a＜

1

2

时，f（x）的单调递减区间为：（

1

2

-

1-2b

2

，

1

2

+

1-2b

2

），
单调递增区间为：（0，

1

2

-

1-2b

2

）和[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）；
当a≥

1

2

时，单调递增区间为：（0，+∞）．
（2）由题意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，
∴g′（x）=2（x²-1）•e^x，
假设存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得当x∈[m，n]时函数g（x）的值域为[2m，2n]，即n＞m＞1，
当x∈[m，n]时，g′（x）=2（x²-1）e^x＞0，
∴g（x）在区间[m，n]单调递增，
∴

g(m)=2m g(n)=2n

，
即方程g（x）=2x有两个大于1的相异实根，
设h（x）=g（x）-2x=（2x²-4x+2）e^x-2x，（x＞1），
∴h′（x）=（2x²-2）e^x-2，
设φ（x）=h′（x）=（2x²-2）e^x-2，
∴φ′（x）=（2x²+4x-2）e^x
x＞1，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上单调增，
又φ（1）=-2＜0，φ（2）=6e²-2＞0，
即存在唯一的1＜x₀＜2使φ（x₀）＜0．
当x∈（1，x₀）时，φ（x₀）＜0，h（x）为减函数；
当x∈（x₀，+∞）时，φ（x₀）＞0，h（x）为增函数；
∴h（x）在x₀处取到极小值．又h（1）=-2＜0，h（2）=2e²-4＞0，
∴h（x）在（1，+∞）只存在一个零点，与方程g（x）=2x有两个大于1的相异实根相矛盾，
所以假设不成立，所以不存在m，n符合题意．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数的单调区间，导数的应用，本题属于有一定难度的问题．