题目内容
如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，AB=BD，过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，∠PBD的角平分与DC的延长交于点E．（1）若AB=3，PD=2
| 7 |
（2）求证：BE2=CE•DE．
考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（1）由已知得PD2=PB•PA，从而PB=4，由已知得△APD∽△PBD，从而
=
，由此能求出AD．
（2）连结BO，由AB=BD，得BO是∠ABD的平分线，从而得到BE是圆O的切线，由此能证明BE2=CE•DE．
| AD |
| BD |
| PD |
| PB |
（2）连结BO，由AB=BD，得BO是∠ABD的平分线，从而得到BE是圆O的切线，由此能证明BE2=CE•DE．
解答：
（1）解：∵AB=BD=3，PD=2
，过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，
∴PD2=PB•PA，即(2
)2=PB(PB+3)，
解得PB=4或PB=-7，（舍），
在△APD，△PBD中，
∵∠A=∠BDP，∠P=∠P，
∴△APD∽△PBD，
∴
=
，
∴AD=
=
=
．
（2）证明：连结BO，∵AB=BD，
∴BO是∠ABD的平分线，
∵∠PBD的角平分与DC的延长交于点E．
∴∠OBE=90°，
∴BE是圆O的切线，
∴BE2=CE•DE．
| 7 |
∴PD2=PB•PA，即(2
| 7 |
解得PB=4或PB=-7，（舍），
在△APD，△PBD中，
∵∠A=∠BDP，∠P=∠P，
∴△APD∽△PBD，
∴
| AD |
| BD |
| PD |
| PB |
∴AD=
| PD•BD |
| PB |
2
| ||
| 4 |
3
| ||
| 2 |
（2）证明：连结BO，∵AB=BD，
∴BO是∠ABD的平分线，
∵∠PBD的角平分与DC的延长交于点E．
∴∠OBE=90°，
∴BE是圆O的切线，
∴BE2=CE•DE．
点评：本题考查线段长的求法，考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
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