Question

已知f（x）=x²，若a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）在x∈[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a≤-

  1

  2

  或a≥

  3

  2

• B、-

  1

  2

  ≤a≤

  3

  2

• C、-

  3

  2

  ≤a≤

  1

  2

• D、a≤-

  3

  2

  或a≥

  3

  2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：把f（x）=x²，代入a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）可化为：（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，令g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3，横过（0，-3）
再讨论此抛物线，满足不等式得出结论．

解答： 解：把f（x）=x²，代入a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）可化为：（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，
令g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3，横过（0，-3）
①当4a²-4a-3=0时，即a=-

1

2

或a=

3

2

时，原不等式化为-6x-3≤0，在x∈[1，+∞）上恒成立，
②当4a²-4a-3＞0时，抛物线g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3开口向上，不能满足在x∈[1，+∞）上恒成立，
③当4a²-4a-3＜0时，抛物线g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3开口向下，对称轴方程为x=-

-6

2(4a2-4a-3)

=

3

4a2-4a-3

＜0，
要使（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，只需使g（1）≤0，∴（4a²-4a-3）1²-6-3≤0，∴4a²-4a-12≤0，∴

1- 13

2

≤a≤

1+ 13

2

又4a²-4a-3＜0，即-

1

2

＜a＜

3

2

，
∴-

1

2

＜a＜

3

2

，
综上，a的范围为-

1

2

≤a≤

3

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查二次函数的性质，用二次函数解关于二次不等式的问题，注意理清三个二次的关系．