Question

关于x的方程x²-2x+a=0，当a为何值时：
（1）方程一根大于1，另一根小于1？
（2）方程一根在（-1，1）内，另一根在（2，3）内？
（3）方程的两个根都大于0？

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=x²-2x+a，由f（1）=a-1＜0，求得a的范围．
（2）由

f(-1)=3+a＞0 f(1)=a-1＜0 f(2)=a＜0 f(3)=3+a＞0

，求得a的范围． 
（3）由

△=4-4a＞0 f(0)=a＞0

，求得a的范围．

解答： 解：（1）设f（x）=x²-2x+a，若关于x的方程x²-2x+a=0一根大于1，另一根小于1，
则有f（1）=a-1＜0，求得a＜1．
（2）若关于x的方程x²-2x+a=0一根在（-1，1）内，另一根在（2，3）内，
则有

f(-1)=3+a＞0 f(1)=a-1＜0 f(2)=a＜0 f(3)=3+a＞0

，由此求得-3＜a＜0．
（3）若方程x²-2x+a=0的两个根都大于0，则有

△=4-4a＞0 f(0)=a＞0

，求得0＜a＜1．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．