Question

已知f（log₃x）=x²-2x+4，x∈[

1

3

，3]．
（1）求f（x）的解析式及定义域；
（2）若方程f（x）=a²-3a+3有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法得到x以及其范围求解析式；
（2）设u=3^x，得到f（u），利用u的范围求得f（u），从而得到a²-3a+3的范围，解不等式得之．

解答： 解：（1）设t=log₃x，因为x∈[

1

3

，3]，所以t∈[-1，1]；
并且x=3^t，
所以f（t）=（3^t）²-2×3^t+4，
所以f（x）=（3^x）²-2×3^x+4，x∈[-1，1]；
（2）设u=3^x，u∈[

1

3

，3]，f（u）=u²-2u+4=（u-1）²+3，所以f（u）=[3，7]，
所以a²-3a+3∈[3，7]，
所以a∈[-1，0]∪[3，4]．

点评：本题考查了利用换元法求函数解析式以及方程的根的存在性；换元法求解析式必须注意定义域的范围．