Question

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³，当a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数f（x）=（x-1）e^x，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，进而可求得函数的极值；
（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性，即可得出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x³-3x²-9x+1，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴由f′（x）=0得，x=-1或x=3，
又x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0，
∴当x=-1时，函数f（x）有极大值为f（-1）=-1-3+9+1=6，
当x=3时，函数f（x）有极小值为f（3）=27-27-27+1=-26．
（Ⅱ）∵f（x）=（x-1）e^x，
∴f′（x）=（x-1）′•e^x+（x-1）•（e^x）′=xe^x，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的递增区间为（0，+∞），递减区间为（-∞，0）．

点评：本题考查学生利用导数研究函数的单调性、极值等知识，属于常见题型，属中档题．