题目内容
7．已知函数f（x）=2mx3-3nx2+10（m，n＞0）有两个不同零点，则5lg2m+9lg2n的最小值是（ ）| A． | 6 | B． | $\frac{13}{9}$ | C． | 1 | D． | $\frac{5}{9}$ |
分析 由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．
解答 解：∵f（x）=2mx3-3nx2+10（m，n＞0）
∴f′（x）=6mx2-6nx=6x（mx-n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=$\frac{n}{m}$，
∵f（x）=2mx3-3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，
∴f（$\frac{n}{m}$）=0，即2m•（$\frac{n}{m}$）3-3n•（$\frac{n}{m}$）2+10=0，整理得n3=10m2，
两边取对数得3lgn=1+2lgm，
∴lgn=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm，
∴5lg2m+9lg2n=5lg2m+9（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm）2=9lg2m+4lgm+1=9（lgm+$\frac{2}{9}$）2+$\frac{5}{9}$，
∴当lgm=-$\frac{2}{9}$时，5lg2m+9lg2n有最小值为$\frac{5}{9}$．
故选D．
点评 本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识，考查学生的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
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16．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（cosα，sinα）（α∈R），则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的取值范围是（ ）
| A． | [0，$\frac{π}{4}$] | B． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$] | C． | [$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$] | D． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$] |
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．
如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BD}$，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），则λ+3μ的最小值是3．
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| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{4}{7}$ | D． | $\frac{6}{7}$ |