Question

4．如图，已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于y轴的正半轴上，圆C与x轴交于A，B两点（A在左边，B在右边），且|AB|=4，点B到直线AC的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线y=kx-1（k∈R）与圆C交于M、N两点，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

分析 （1）设圆C为x²+（y-a）²=r²（a＞0，r＞0），依题意设A（-2，0），B（2，0），求出直线AC的方程，由点B到直线AC的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$求得a值，进一步求得半径，则圆C的标准方程可求；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系求得M，N的横纵坐标的乘积，代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，即可求得k值．

解答 解：（1）设圆C为x²+（y-a）²=r²（a＞0，r＞0），圆心C（0，a），
依题意设A（-2，0），B（2，0），则直线AC的方程为ax-2y+2a=0．
由点B到直线AC的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，得$\frac{|2a+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，解得a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
则r=|AC|=$\sqrt{5}$，
∴圆C的标准方程为x²+（y-1）²=5；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线y=kx-1与圆C交于M、N两点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-4kx-1=0．
△=（-4k）²+4（1+k²）=4（5k²+1）＞0恒成立，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{1+{k}^{2}}$，
则y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=$\frac{-4{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{1+{k}^{2}}+\frac{-4{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}=-2$，解得k=±1．

点评 本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系等知识，考查运算求解能力，是中档题．