Question

10．已知过点P（1，1）的直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，圆O以原点为圆心，2为半径，直线l₁交圆O于点M，N，直线l₂交圆O于点P、Q，若$\frac{|MN|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，且k₁+k₂=0，则k₁k₂等于（　　）

• A． 1
• B． -$\frac{1}{9}$
• C． -9
• D． -$\frac{1}{9}$或-9

Answer 1

分析 求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，求出|PQ|，|MN|，利用条件建立方程，即可得出结论．

解答 解：设直线l₁的方程为y-1=k₁（x-1），即k₁x-y-k₁+1=0，
圆心到直线的距离为$\frac{|1-{k}_{1}|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，∴|MN|=2$\sqrt{4-\frac{（1-{k}_{1}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，
同理|PQ|=2$\sqrt{4-\frac{（1+{k}_{1}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，
∵$\frac{|MN|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
代入整理可得3k₁²-10k₁+3=0，
∴k₁=3或k₁=$\frac{1}{3}$，
∴k₁k₂=-k₁²=-$\frac{1}{9}$或-9，
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．