Question

6．设双曲线M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（1）求M的实轴长、虚轴长及焦距；
（2）若抛物线N：y²=2px（p＞0）的焦点为双曲线M的右顶点，且直线x=m（m＞0）与抛物线N交于A、B两点，若OA⊥OB（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用双曲线的方程求解实轴长、虚轴长及焦距．
（2）求出双曲线M的右顶点，得到p，然后求出A的坐标，利用OA⊥OB，考查方程求解即可．

解答 解：（1）双曲线M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
可得a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2
所以双曲线M的实轴长为：6、
虚轴长：2$\sqrt{5}$
焦距：4；
（2）双曲线M的右顶点（3，0），抛物线N：y²=2px（p＞0）的焦点为双曲线M的右顶点，
所以p=6，抛物线方程为：y²=12x，
直线x=m（m＞0）与抛物线N交于A、B两点，若OA⊥OB（O为坐标原点），
可得A（m，m），B（m，-m），所以m²=12m，
解得m=6．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．