Question

1．已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）
（Ⅰ）证明直线l经过定点并求此点的坐标；
（Ⅱ）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（Ⅲ）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），化为：k（x+2）-y+1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由直线l不经过第四象限，y=kx+2k+1．即可得出．
（Ⅲ）直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，由直线l的方程kx-y+1+2k=0可得与坐标轴的交点A$（-\frac{1+2k}{k}，0）$，B（0，1+2k），$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，k≠0，解得：k＞0．故S=$\frac{1}{2}|-\frac{1+2k}{k}|$×|1+2k|=$\frac{1}{2}$$\frac{1+2k}{k}×（1+2k）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）证明：直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），化为：k（x+2）-y+1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=1．
∴直线l经过定点（-2，1）．
（Ⅱ）由直线l不经过第四象限，y=kx+2k+1．
则k≥0，
（Ⅲ）直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，
由直线l的方程kx-y+1+2k=0可得与坐标轴的交点A$（-\frac{1+2k}{k}，0）$，B（0，1+2k），$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，k≠0，解得：k＞0．
∴S=$\frac{1}{2}|-\frac{1+2k}{k}|$×|1+2k|=$\frac{1}{2}$$\frac{1+2k}{k}×（1+2k）$=$\frac{1}{2}$$（4k+\frac{1}{k}+4）$≥$\frac{1}{2}（2\sqrt{4k•\frac{1}{k}}+4）$=4，当且仅当k=$\frac{1}{2}$时取等号．
S的最小值为4，及此时直线l的方程为：x-2y+4=0．

点评 本题考查了直线系的方程、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．