Question

6．已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），当x∈[0，2）时，f（x）=e^x-1，则f（2017）+f（-2016）=（　　）

• A． 1-e
• B． -1-e
• C． e-1
• D． e+1

Answer 1

分析 根据图象的平移可知y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f（2017）+f（-2016）=f（1）-f（0），求解即可．

解答 解：∵y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称，
∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，
∴函数为奇函数，
∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），∴函数为周期为2的周期函数，
当x∈[0，2）时，f（x）=e^x-1，
∴f（2017）+f（-2016）
=f（2017）-f（2016）
=f（1）-f（0）
=（e-1）-0
=e-1．
故选：C．

点评 本题主要考查了函数图象的平移，奇函数的性质和函数的周期性．难点是对知识的综合应用．