Question

5．若x²+4y²=5，则x+y的最小值为$-\frac{5}{2}$，最小值点为（-2，$-\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 把已知等式变形，然后利用三角换元，借助于辅助角公式化简求得答案．

解答 解：由x²+4y²=5，得$（\frac{x}{\sqrt{5}}）^{2}+（\frac{2y}{\sqrt{5}}）^{2}=1$，
令$\frac{x}{\sqrt{5}}=cosθ，\frac{2y}{\sqrt{5}}=sinθ$，得$x=\sqrt{5}cosθ，y=\frac{\sqrt{5}}{2}sinθ$，
∴$x+y=\frac{\sqrt{5}}{2}sinθ+\sqrt{5}cosθ$=$\frac{5}{2}sin（θ+α）$（tanα=2，α为锐角）．
∴x+y的最小值为-$\frac{5}{2}$，此时sin（θ+α）=-1，即θ+α=$-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
$θ=-\frac{π}{2}-α+2kπ$，k∈Z．
则x=$\sqrt{5}cosθ=\sqrt{5}cos（-\frac{π}{2}-α+2kπ）$=$\sqrt{5}cos（\frac{π}{2}+α）=-\sqrt{5}sinα$=$-\sqrt{5}×\frac{2}{\sqrt{5}}=-2$．
∴y=-$\frac{1}{2}$，最小值点为（$-2，-\frac{1}{2}$）．
故答案为：$-\frac{5}{2}$；（$-2，-\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查函数最值的求法，训练了换元法，属中档题．