题目内容

15．求函数f（x）=2x3-6x2+7的极值和单调区间．

分析 由f（x）=2x3-6x2+7，求得f′（x）=6x2-12x，通过对f'（x）＞0与f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的单调区间和极值．

解答 解：f'（x）=6x2-12x…2分
令 f'（x）=0，解得x1=0，x2=2．                                …4分
列表讨论f（x）、f'（x）的变化情况：

x（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）
f'（x）+0-0+
f（x）↗极大值7↘极小值-1↗
…7分
所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，0）、（2，+∞）；f（x）的单调递减区间为（0，2）；          …8分
当x=0时，f（x）的极大值是f（0）=7；
当x=2时，f（x）的极小值是f（2）=-1．                         …9分．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，着重考查导数与单调性间的关系及应用，属于基础题．

练习册系列答案
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17．已知函数f（x）=（x2-k）ex（e为自然对数的底数，e=2.71828，k∈R）．
（1）当k=3时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜2x成立，求k的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在x∈[0，1]上的最大值．
6．己知：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD．
（1）证明：PB⊥CB；
（2）设E为CD的中点，PE与底面ABCD所成角为45°，求平面PAD与平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．
3．已知三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为10，定长为m（m＜6）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），线段MN的中点P的轨迹的面积为2π，则m的值等于4$\sqrt{2}$．
10．已知函数$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
（Ⅰ）若，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为，求实数a的取值范围．
20．已知数列{an}中对于任意正整数n都有an+1=${a}_{n}^{2}$+can，其中c为实常数．
（Ⅰ）若c=2，a1=1，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若c=0，记Tn=（a1-a2）a3+（a2-a3）a4+…+（an-an+1）an+2，证明：
1）当0＜a1≤$\frac{1}{2}$时，Tn＜$\frac{1}{32}$；
2）当$\frac{1}{2}$＜a1＜1时，Tn＜$\frac{1}{3}$．
7．如图y=f（x）的导函数的图象，现有四种说法：
（1）f（x）在（-3，1）上是增函数；
（2）x=-1是f（x）的极小值点；
（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（-1，2）上是增函数；
（4）x=2是f（x）的极小值点；
以上正确的序号为（　　）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（4）
4．已知圆的极坐标方程为ρ2-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．
（1）将极坐标方程化为圆的直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
5．若x2+4y2=5，则x+y的最小值为$-\frac{5}{2}$，最小值点为（-2，$-\frac{1}{2}$）．

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