在直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴正半轴为极坐标建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ．(I)写出直线l和曲线C的直角坐标方程,(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ．
（I）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若动点P在直线l上，Q在曲线C上，求|PQ|的最小值．

分析（I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（II）设Q$（x，\frac{{x}^{2}}{2}）$，则点Q到直线l的距离d=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}{2\sqrt{2}}$，再利用二次函数的单调性即可得出最小值．

解答解：（I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：x-y-1=0．
曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，∴直角坐标方程为：x²=2y．
（II）设Q$（x，\frac{{x}^{2}}{2}）$，则点Q到直线l的距离d=$\frac{|x-\frac{{x}^{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{15\sqrt{2}}{32}$．
∴当取Q$（\frac{1}{4}，\frac{1}{32}）$时，|PQ|取得最小值$\frac{15\sqrt{2}}{32}$．

点评本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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	几何题	代数题	总计
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女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为解几何题和代数题能力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望E（X）．
（3）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
附表及公式
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（k²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828