Question

16．已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，两个极值点分别为-1和1，若f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（1，2）

Answer 1

分析 由原函数的单调性得到导函数的符号，把不等式转化为不等式组，求解不等式组后取并集得答案．

解答 解：由函数图象可知f′（x）＞0的解集为：（-∞，-1）∪（1，+∞），
f′（x）＜0的解集为：（-1，1）．
由（x²-2x-3）f′（x）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3＞0}\\{f′（x）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3＜0}\\{f′（x）＜0}\end{array}\right.$②
解①得：x＜-1或x＞3；
解②得：-1＜x＜1．
∴不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，训练了一元二次不等式及不等式组的解法，是基础的计算题．