Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，${a_{n+2}}=（1+{sin^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+n•cos\frac{nπ}{2}$，则该数列的前20项和为1033．

Answer 1

分析 求出数列的关系式，利用奇数项与偶数项的和，求解即可．

解答 解：当n为奇数时，${a_{n+2}}=（1+{sin^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+n•cos\frac{nπ}{2}$，可得a_n+2=2a_n，
故奇数项是以a₁=1为首项，公比为2的等比数列，
所以前20项中的奇数项和为${S_奇}=\frac{{1-{2^{10}}}}{1-2}={2^{10}}-1=1023$；
当n为偶数时，${a_{n+2}}=（1+{sin^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+n•cos\frac{nπ}{2}$，可得${a_{n+2}}={a_n}+{（-1）^{\frac{n}{2}}}•n$，
前20项中的偶数项和为S_偶=10，
所以S₂₀=1023+10=1033．
故答案为：1033．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．