Question

4．已知$y=f（x）=2cos（2x-\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$，求：
（1）单调增区间、对称中心；
（2）当$x∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$时，求f（x）值域；
（3）当x∈[-π，π]时，解不等式y≥0．

Answer 1

分析 （1）由相位在余弦函数的增区间内求解x的范围得函数的增区间，再由相位的终边落在y轴上求解x的取值集合得到函数的对称中心；
（2）由x的范围求得$2x-\frac{π}{6}$的范围，进一步求得函数的值域；
（3）求解三角不等式，与x∈[-π，π]取交集得答案．

解答 解：（1）由$π+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤2π+2kπ$，解得$\frac{7π}{12}+kπ≤x≤\frac{13π}{12}+kπ$，
∴函数的单调增区间为$[\frac{7π}{12}+kπ，\frac{13π}{12}]，k∈Z$；
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}⇒x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，故对称中心为$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，\sqrt{3}），k∈Z$；
（2）∵$x∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$，∴$-\frac{2π}{3}＜2x-\frac{π}{6}＜\frac{π}{6}$，
当$2x-\frac{π}{6}→-\frac{2π}{3}$时，${y_{min}}→f（-\frac{π}{4}）=-1+\sqrt{3}$，
当$2x-\frac{π}{6}=0$时，${y_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2+\sqrt{3}$，
故值域$y∈（\sqrt{3}-1，\sqrt{3}+2]$；
（3）原不等式$?cos（2x-\frac{π}{6}）≥-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$-\frac{5π}{6}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
令$k=-1，-\frac{4π}{3}≤x≤-\frac{π}{2}$，令$k=0，-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{2}$，令$k=1，\frac{2π}{3}≤x≤\frac{3π}{2}$，
又∵-π≤x≤π，
取交集得原不等式解集为$x∈[-π，-\frac{π}{2}]∪[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]∪[\frac{2π}{3}，π]$．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．