Question

19．函数$f（x）=a{log_2}x+a•{4^x}+3$在区间$（\frac{1}{2}，1）$上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＜-3
• B． $-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{3}{4}$
• C． $-3＜a＜-\frac{3}{4}$
• D． $-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可判断函数$f（x）=a{log_2}x+a•{4^x}+3$在区间$（\frac{1}{2}，1）$上单调且连续，从而利用零点的判定定理判断即可．

解答 解：∵y=log₂x，y=4^x在其定义域上单调递增，
∴函数$f（x）=a{log_2}x+a•{4^x}+3$在区间$（\frac{1}{2}，1）$上单调且连续，
∴由零点的判定定理可得，
f（$\frac{1}{2}$）•f（1）＜0，
即（-a+2a+3）（4a+3）＜0，
解得，-3＜a＜-$\frac{3}{4}$，
故选C．

点评 本题考查了函数的性质的判断及零点的判定定理的应用．