Question

12．已知直线ax+y-1=0与圆C：（x-1）²+（y+a）²=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为-1或1．

Answer 1

分析 由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答 解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，
∴圆心C（1，-a）到直线ax+y-1=0的距离d=rsin45°，即$\frac{|a-a-1|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得：1+a²=2，即a²=1，
解得：a=-1或1，
故答案为：-1或1

点评 此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．