Question

9．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率乘积的值；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t≠$\sqrt{3}$），过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$A（-\sqrt{3}，0），B（\sqrt{3}，0）$．设点P（x，y）（y≠0），从而可得${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y}{{x+\sqrt{3}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{3}}}=\frac{y^2}{{{x^2}-3}}$，从而解得．
（Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），联立化简可得（2a²+3）y²+4aty+2t²-6=0，从而利用韦达定理可得y₁+y₂=-$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$；化简$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁+$\sqrt{3}$，y₁）（x₂+$\sqrt{3}$，y₂）=a²y₁y₂+（$\sqrt{3}$+t）a（y₁+y₂）+（$\sqrt{3}$+t）²+y₁y₂，代入化简可得5t²+6$\sqrt{3}$t+3=0，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）$A（-\sqrt{3}，0），B（\sqrt{3}，0）$．设点P（x，y）（y≠0），
则有$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，
即${y^2}=2（1-\frac{x^2}{3}）=\frac{2}{3}（3-{x^2}）$，
∴${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y}{{x+\sqrt{3}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{3}}}=\frac{y^2}{{{x^2}-3}}$=$\frac{{\frac{2}{3}（3-{x^2}）}}{{{x^2}-3}}=-\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵MN与x轴不重合，
∴设直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ay+t}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}-6=0}\end{array}\right.$化简得，
（2a²+3）y²+4aty+2t²-6=0，
由题意可知△＞0成立，且y₁+y₂=-$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$；
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁+$\sqrt{3}$，y₁）（x₂+$\sqrt{3}$，y₂）
=（ay₁+t+$\sqrt{3}$，y₁）（ay₂+t+$\sqrt{3}$，y₂）
=（ay₁+t+$\sqrt{3}$）（ay₂+t+$\sqrt{3}$）+y₁y₂
=a²y₁y₂+（$\sqrt{3}$+t）a（y₁+y₂）+（$\sqrt{3}$+t）²+y₁y₂
将y₁+y₂=-$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$代入上式可得，
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=a²$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$-（$\sqrt{3}$+t）a$\frac{4at}{2{a}^{2}+3}$+（$\sqrt{3}$+t）²+$\frac{2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$=0，
即$\frac{2{a}^{2}{t}^{2}-6{a}^{2}-4{a}^{2}t\sqrt{3}-4{a}^{2}{t}^{2}+（\sqrt{3}+t）^{2}（2{a}^{2}+3）+2{t}^{2}-6}{2{a}^{2}+3}$=0，
即a²（2t²-6-4t$\sqrt{3}$-4t²+2t²+4t$\sqrt{3}$+6）+2t²-6+3（$\sqrt{3}$+t）²=0，
即5t²+6$\sqrt{3}$t+3=0，
解得，t=-$\sqrt{3}$（舍去）或t=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
故t=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系的判断与应用，同时考查了平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算的能力．