Question

13．求下列函数在给定范围内的最大值、最小值：
（1）f（x）=x²+（1-x）²，0≤x≤2；
（2）f（x）=x³-9x²-48x+52，-2≤x≤2．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的性质可得到函数的最值；
（2）求导并化简f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），从而得到函数的单调性，从而求最值；

解答 解：（1）∵f（x）=x²+（1-x）²=2x²-2x+1=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$的图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}∈$[0，2]．
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
f_max（x）=f（2）=4+1=5；
（2）∵f（x）=x³-9x²-48x+52，
∴f′（x）=3x²-18x-48=3（x+2）（x-8），
令（x+2）（x-8）=0，
解得x=-2，x=8．，-2≤x≤2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-2，2]上是减函数，
∴f_min（x）=f（2）=-72，f_max（x）=f（-2）=104；

点评 本题考查了二次函数的最值的求法及导数的综合应用，属于中档题．