Question

如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=

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CD，AB∥CD，M为CE的中点．
（1）证明：BM∥平面ADEF；
（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（2）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BCE⊥平面BDE．

解答： 证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=

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CD．
由已知AB∥CD，AB=

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CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，
AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

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在△BCD中，BD=BC=2

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，CD=4，
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE，
又因为BC?平面BCE，
所以平面BCE⊥平面BDE．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．