Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径是

a2+b2

的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴的一个端点到点F的距离为

3

．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

AB

•

AD

的取值范围；
（3）证明：如果在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，那么l₁，l₂互相垂直．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知c=

2

，且a=

b2+c2

=

3

，可得b=1．即可得出椭圆C的方程与其“准圆”方程．
（2）由题意，可设B（m，n），D（m，-n）(-

3

＜m＜

3

)，可得

m2

3

+n2=1．又A点坐标为（2，0），利用数量积运算可得

AB

•

AD

=（m-2）²-n²=

4

3

(m-

3

2

)2，再利用二次函数的单调性即可得出．
（3）设P（s，t），则s²+t²=4．对s，t分类讨论：当s=±

3

时，t=±1；当s≠±

3

时，设过P（s，t）且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则直线l方程为y-t=k（x-s），代入椭圆C方程可得x²+3[kx+（t-ks）]²=3，利用△=0，再利用根与系数的关系证明k₁•k₂=-1，即可．

解答： 解：（1）由题意知c=

2

，且a=

b2+c2

=

3

，可得b=1．
故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
其“准圆”方程为x²+y²=4．
（2）由题意，可设B（m，n），D（m，-n）(-

3

＜m＜

3

)，
则

m2

3

+n2=1．
又A点坐标为（2，0），
故

AB

=（m-2，n），

AD

=（m-2，-n）．
故

AB

•

AD

=（m-2）²-n²=m²-4m+4-(1-

m2

3

)=

4

3

(m-

3

2

)2，
又-

3

＜m＜

3

，故

4

3

(m-

3

2

)2∈[0，7+4

3

)，
∴

AB

•

AD

的取值范围是[0，7+4

3

)
（3）设P（s，t），则s²+t²=4．
①当s=±

3

时，t=±1，此时两条直线l₁，l₂中一条斜率不存在，另一条斜率为0，
∴l₁⊥l₂．
 ②当s≠±

3

时，设过P（s，t）且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，
则直线l方程为y-t=k（x-s），代入椭圆C方程可得
x²+3[kx+（t-ks）]²=3，即（3k²+1）x²+6k（t-ks）x+3（t-ks）²-3=0（*），
由△=36k²（t-ks）²-4（3k²+1）[3（t-ks）²-3]=0，
可得（3-s²）k²+2stk+1-t²=0，其中3-s²≠0．
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂是上述方程的两个根．
故k₁•k₂=

1-t2

3-s2

=

1-(4-s2)

3-s2

=-1，即l₁⊥l₂．
综上可知，对于椭圆C上的任意点P，都有l₁⊥l₂．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得判别式及其根与系数的关系、准线垂直与斜率关系、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．