Question

已知直线l：x-y+10=0，求双曲线

x2

4

-

y2

3

=1右支上的点到直线的距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由直线l的方程与双曲线的方程可以知道，直线l与双曲线的右支不相交，将直线l：x-y+10=0平移，使得其与双曲线的右支相切，则可知切线与直线l的距离最小，
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成x-y+k=0与双曲线方程联立，利用判别式为0可求解．

解答： 解：由直线l的方程与双曲线的方程可以知道，直线l与双曲线的右支不相交，
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成x-y+k=0，（1）
由方程组

x2 4 - y2 3 =1 x-y+k=0

，消去y，得x²+8kx+4k²+12=0，（2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k²-4×（4k²+12）=0，（3）
解方程（3）得k₁=1或k₂=-1，
∴当k₂=-1时，直线m与双曲线右支的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为x-y-1=0，
直线m与直线l间的距离d=

|10+1|

2

=

11 2

2

．

点评：本题考查直线和双曲线的位置关系，解题的关键是将直线l：x-y+10=0平移，使得其与双曲线的右支相切，属中档题．