Question

6．等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）先出S_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$，从而b_n=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=2（$\frac{1}{1-{3}^{n}}-\frac{1}{1-{3}^{n+1}}$），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+3{a}_{1}q=1}\\{{a}_{1}{q}^{2}=3\sqrt{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{5}}}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=\frac{1}{3}，q=\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}=\frac{1}{{3}^{n}}$．
（Ⅱ）∵S_n为数列{a_n}的前n项和，∴${S}_{n}=\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$，
∴b_n=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n+1}}）-\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）•\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n+1}}）}$=2（$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$），
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}-\frac{1}{26}$+$\frac{1}{26}-\frac{1}{80}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）
=2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）
=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．