Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

3

倍（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式并用列表作图的方法画出y=g（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：图表型,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知中函数图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．我们易求出函数的最值及周期，进而求出A，ω值，再由图象在y轴上的截距为1，|φ|＜

π

2

，将（0，1）点代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g（x）的解析式，用五点法即可做出图象．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
∴T=6π，即ω=

2π

T

=

1

3

，A=2，
∴f（x）=2sin（

1

3

x+φ），
又∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象在y轴上的截距为1，
∴函数图象过（0，1），
∴sinφ=

1

2

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（

x

3

+

π

6

）；
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

3

（纵坐标不变），然后再将新的图象向X轴正方向平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象．
∴g（x）=2sin[3•

x- π 3

3

+

π

6

]．
整理得：g（x）=2sin（x-

π

6

）．
列表如下：

x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 6	2π 3	7π 6	5π 3	13π 6
y	0	2	0	-2	0

其图形是：

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键，属于中档题．