Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立
则称函数f（x）为“友谊函数”．
（1）已知f（x）是“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否是“友谊函数”？说明你的理由．
（3）已知f（x）是“友谊函数”，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀．
求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值可考虑取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），结合已知f（0）≥0，可求f（0）
（2）要判断函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数，只要检验函数g（x）=2^x-1在[0，1]上是否满足①g（x）＞0；②g（1）=1；③x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）即可．
（3）利用反正法，先假设f（x₀）≠x₀，然后分f（x₀）＞x₀，f（x₀）＜x₀，两种情况分别进行论证即可

解答： 解：（1）令x₁=1，x₂=0，则x₁+x₂=1∈[0，1]．
由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．
又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．
（2）g（x）=2^x-1是友谊函数．
显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1；下面证明也满足③：若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
即x₁，x₂∈[0，1]，x₁+x₂∈[0，1]，有2x₁≥1，2x₂≥1．
则（2x₁-1）（2x₂-1）≥0．
即g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
故g（x）=2^x-1满足条件①﹑②﹑③
故g（x）在[0，1]上为友谊函数．
（3）取0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁≤1．
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．
假设f（x₀）≠x₀，
若f（x₀）＞x₀，则f[f（x₀）]≥f（x₀）＞x₀．
若f（x₀）＜x₀，则f[f（x₀）]≤f（x₀）＜x₀．
都与题设矛盾，因此f（x₀）=x₀．

点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．