Question

数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和满足

S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

）．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把a_n=S_n-S_n-1代入

S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

），整理得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．由此可知数列{

1

Sn

}是公差为2的等差数列，求得其通项公式后得S_n的表达式；
（2）把S_n代入b_n=

Sn

2n+1

，然后利用裂项相消法求和．

解答： 解：（1）由

S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

）（n≥2），得
Sn+12=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)=Sn2-

1

2

Sn-SnSn-1+

1

2

Sn-1，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
即数列{

1

Sn

}是公差为2的等差数列，
又

1

S1

=

1

a1

=1，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
则Sn=

1

2n-1

；
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．