Question

3．已知双曲线${C_1}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$与双曲线${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=-1$，给出下列说法，其中错误的是（　　）

• A． 它们的焦距相等
• B． 它们的焦点在同一个圆上
• C． 它们的渐近线方程相同
• D． 它们的离心率相等

Answer 1

分析 根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标、焦距、渐进性方程以及离心率，进而分析选项即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线${C_1}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$，其中a=$\sqrt{2}$，b=1，则c=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
则其焦距2c=2$\sqrt{3}$，焦点坐标为（±$\sqrt{3}$，0），渐进线为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
双曲线${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=-1$，其标准方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，其中a=1，b=$\sqrt{2}$，则c=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
则其焦距2c=2$\sqrt{3}$，焦点坐标为（0，±$\sqrt{3}$），渐进线为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
据此依次分析选项：
对于A、两个双曲线的焦距都为2$\sqrt{3}$，A正确；
对于B、双曲线C₁焦点坐标为（±$\sqrt{3}$，0），双曲线C₂焦点坐标为（0，±$\sqrt{3}$），都在圆x²+y²=3上，B正确；
对于C、两个双曲线的渐进线为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，C正确；
对于D、双曲线C₁离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，双曲线C₂的离心率为$\sqrt{3}$，不正确；
故选：D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程．