Question

8．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$且z=2x-y的最大值为a，则$\int_0^π{a{{cos}^2}}\frac{x}{2}dx$=3π．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解得a的值，结合函数的积分公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，
由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（4，2）
即a=z_max=2×4-2=6，
则$\int_0^π{a{{cos}^2}}\frac{x}{2}dx$=6∫${\;}_{0}^{π}$$\frac{1}{2}$（1+cosx）dx=3（x+sinx）|${\;}_{0}^{π}$=3π，
故答案为：3π．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法．