Question

14．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=1，若$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-3．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}$用基向量$\overrightarrow{DA}、\overrightarrow{DC}$表示求解．

解答 解：如图，

由题意可知，$|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DC}|=1$，$\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}=0$．
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$）•（$-\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{DC}$）=$3\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}+{\overrightarrow{DA}}^{2}-4{\overrightarrow{DC}}^{2}$
=1-4=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法法则与减法法则，是中档题．