Question

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=-4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）把原函数f（x）=alnx+x²求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数．

解答： 解：（1）当a=-4时，f（x）=-4lnx+x²，
函数的定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)=-

4

x

+2x
令f'（x）=0得，x=

2

或x=-

2

舍去．
∵x∈[1，

2

)时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在[1，

2

)上为减函数，在(

2

，e]上为增函数，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
∴函数f（x）在[1，e]上的最大值为e²-4，相应的x值为e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得
f′(x)=

a

x

+2x
若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x²在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=

-2a

2

或x=-

-2a

2

（舍去）
若

-2a

2

≤1，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若

-2a

2

≥e，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上为减函数，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
∴方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；
若1＜

-2a

2

＜e，即-2e²＜x＜-2，
f（x）在[1，

-2a

2

）上为减函数，在[

-2a

2

，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
f（x）_min=f（

-2a

2

）
=aln

-2a

2

+（

-2a

2

）^2
=

a

2

[ln(-

a

2

)-1]．
当-

a

2

＜e，即-2e＜a＜-2时，f（

-2a

2

）＞0，方程f（x）=0的根的个数是0；
当a=-2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；
当-e²≤a＜-2e时，f（

-2a

2

）＜0，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0的根的个数是2；
当-2e²＜a＜-e²时f（

-2a

2

）＜0，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．