Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，若A（-2，0）且AP⊥AQ，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：先将直线与圆的方程联立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．又因为OP⊥OQ，转化为x₁•x₂+y₁•y₂+2（x₁+x₂）+=0求解即可．

解答： 解：设P、Q的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由AP⊥AQ可得：

AP

⊥

AQ

，即

AP

•

AQ

=0，
因为A（-2，0）
所以x₁•x₂+y₁•y₂+2（x₁+x₂）+4=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+m=0
化简得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．
所以x₁•x₂+y₁•y₂+2（x₁+x₂）+4=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂+2[6-2（y₁+y₂）]+4
=25-10（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=25-10×4+5×

12+m

5

=m-3=0
解得：m=3．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，考查向量知识的运用，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．