Question

函数f（x）在定义域R上的导函数是f'（x），若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f'（x）＜0，设a=f（0）、b=f（

2

）、c=f（log₂8），则（　　）

• A、a＜b＜c
• B、a＞b＞c
• C、a＜c＜b
• D、c＜a＜b

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：先由x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，1）上为增函数；又f（x）=f（2-x）得f（x）图象关于x=1对称，则 f（x）在（1，+∞）上为减函数，然后将f（0），f（

2

），f（log₂8）化到同一单调区间内比较即可．

解答： 解：∵x∈（-∞，1）时，
∴（x-1）f′（x）＜0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）上为增函数，
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）图象关于x=1对称，
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，
又∵a=f（0）=f（2），b=f（

2

），c=f（log₂8）=f（3），
∴3＞2＞

2

，
∴c＜a＜b．
故选：D．

点评：解题的关键为由f（x）=f（2-x）得函数图象关于x=1对称，以及利用导数符号确定函数的单调性，属于常用解题技巧．