Question

已知向量

a

=（cos（-θ），sin（π+θ）），

b

=（cos（

π

2

-θ），sin（

π

2

-θ））．
（Ⅰ）求证

a

⊥

b

；
（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使

x

=

a

+（t²+3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

满足

x

⊥

y

，试求此时

k+t2

t

的最小值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、诱导公式只要证明

a

•

b

=0即可；
（II）利用向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性即可得出．

解答： （I）证明：∵

a

•

b

=cos（-θ） cos（

π

2

-θ）+sin（π+θ） sin（

π

2

-θ）
=sin cosθ-sinθcosθ=0，
∴

a

⊥

b

．
（Ⅱ）由

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，
即[

a

+（t²+3）

b

]•（-k

a

+t

b

）=0．
∴-k

a

2+（t³+3t）

b

2+[t-k（t²+3）]

a

•

b

=0
∴-k|

a

|²+（t³+3t）|

b

|²=0
又∵|

a

|=|

b

|=1，
∴-k+t³+3t=0，∴k=t³+3t
∴

k+t2

t

=

t3+t2+3t

t

=t²+t+3，
=（t+

1

2

）²+

11

4

故当t=-

1

2

时，

k+t2

t

的取得最小值，为

11

4

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．