Question

已知函数f（x）=

2

x-1

．
（1）证明：函数在区间（1，+∞）上为减函数；
（2）求函数在区间[2，4]上的最值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（2）运用（1）的结论，即可得到最值．

解答： （1）证明：设1＜m＜n，则
f（m）-f（n）=

2

m-1

-

2

n-1

=

2(n-m)

(m-1)(n-1)

由于1＜m＜n，则n-m＞0，m-1＞0，n-1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，
则函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数；
（2）解：由（1）可得，f（x）在区间[2，4]上递减，
则f（2）取得最大，且为2，f（4）取最小，且为-

2

3

．

点评：本题考查函数的单调性的证明和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．